Topology and geometry optimization of elastic structures by exact deformation of simplicial mesh

Article history: Received 16 June 2011 Accepted 18 August 2011 Available online xxxx Presented by Olivier Pironneau We propose a method for structural optimization that relies on two alternative descriptions of shapes: on the one hand, they are exactly meshed so that mechanical evaluations by finite elements are accurate; on the other hand, we resort to a level-set characterization to describe their deformation along the shape gradient. The key ingredient is a meshing algorithm for building a mesh, suitable for numerical computations, out of a piecewise linear level-set function on an unstructured mesh. Therefore, our approach is at the same time a geometric optimization method (since shapes are exactly meshed) and a topology optimization method (since the topology of successive shapes can change thanks to the power of the level-set method). © 2011 Académie des sciences. Published by Elsevier Masson SAS. All rights reserved. r é s u m é On présente dans cette note une méthode d’optimisation structurale qui s’appuie sur deux manières complémentaires de représenter des formes : d’une part, elles sont maillées exactement afin que l’évaluation des performances mécaniques par éléments finis soit précise ; d’autre part, on utilise leur représentation à l’aide d’une fonction de lignes de niveaux pour les déformer suivant le gradient de forme. L’ingrédient crucial est un algorithme de remaillage qui permet de construire un maillage, de qualité appropriée pour les calculs numériques, à partir d’une fonction ligne de niveaux continue et affine par morceaux sur un maillage non structuré. Par conséquent, notre approche peut être vue à la fois comme une méthode d’optimisation géométrique (puisque les structures sont maillées exactement) et comme une méthode d’optimisation topologique (puisque la topologie des formes successives peut changer grâce à l’utilisation de l’algorithme des lignes de niveaux). © 2011 Académie des sciences. Published by Elsevier Masson SAS. All rights reserved. E-mail addresses: [email protected] (G. Allaire), [email protected] (C. Dapogny), [email protected] (P. Frey). 1 G. Allaire is a member of the DEFI project at INRIA Saclay Ile-de-France and is partially supported by the Chair “Mathematical modelling and numerical simulation, F-EADS – École polytechnique – INRIA”. 1631-073X/$ – see front matter © 2011 Académie des sciences. Published by Elsevier Masson SAS. All rights reserved. doi:10.1016/j.crma.2011.08.012 JID:CRASS1 AID:4732 /FLA [m3G; v 1.58; Prn:2/09/2011; 16:31] P.2 (1-5) 2 G. Allaire et al. / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I ••• (••••) •••–••• Version française abrégée Classiquement, l’optimisation structurale repose sur la méthode de Hadamard [1,13,17] qui prescrit la déformation de la frontière d’un domaine Ω (donnant lieu à une suite de formes Ωk) pour que celui-ci minimise une certaine fonctionobjectif. D’un point de vue technique, ceci se traduit par la nécessité de déformer le maillage de la forme courante (maillage qui permet d’effectuer des calculs par éléments finis), ce qui s’avère très difficile, voire impossible, notamment en trois dimensions. Pour remédier à cet inconvénient majeur, de récents développements [2,3,19] ont conduit à regarder le problème sous l’angle de la méthode des lignes de niveaux de Osher et Sethian [14]. Le bord du domaine est représenté comme ligne de niveau 0 d’une fonction implicite définie sur un domaine de calcul fixe D (maillé typiquement par une grille cartésienne) dont l’évolution est régie par une équation de type Hamilton–Jacobi. Cela nécessite de pouvoir donner un sens au problème mécanique considéré sur tout le domaine de calcul et pas seulement dans la forme Ωk , ce qui dans le contexte de l’élasticité se fait en considérant que le milieu extérieur D \Ωk n’est pas vide mais occupé par un matériau « ersatz » très mou. Dans cette Note, on propose une nouvelle approche au confluent de ces deux cadres de travail : d’une part, comme dans l’approche classique, on continue à mailler exactement chaque forme Ωk à l’itération k de l’algorithme d’optimisation ; d’autre part, l’évolution de la forme d’une itération à l’autre est toujours décrite par la méthode des lignes de niveaux, mais sur un maillage non structuré (simplicial) du domaine de calcul D, que l’on s’autorise à modifier d’une itération à l’autre. Puisque les maillages sont non structurés la méthode des lignes de niveaux ne peut utiliser des schémas usuels de type différence finies : ici, on utilise une méthode des caractéristiques [15,18]. Il n’y a ensuite plus qu’à garder la partie intérieure à la forme de ce maillage pour procéder à l’évaluation de sa performance mécanique par un calcul d’éléments finis. Il est ainsi possible de décrire des changements importants (y compris des changements de topologie) de la forme alors que celle-ci reste maillée exactement à chaque étape. La méthode est présentée ici sur des exemples en 2d (voir les Figs. 1 et 2), mais a l’avantage de ne pas présenter d’obstacle conceptuel à une extension en 3d, contrairement à beaucoup d’heuristiques quant à l’évolution du maillage.